H2g2 La Guía de los Autoestopistas de la Galaxia: Earth Edition Nim - Juego de estrategia o estafa Un desconocido con el que te hablas en un bar te desafía a un juego sencillo. Él toma un pequeño puñado de cacahuetes y los rocía en tres o cuatro pilas al azar. Él le invita a tomar un número de cacahuetes de cualquiera de las pilas. Entonces es su turno de tomar un número de cacahuetes de cualquiera de las pilas restantes. Continúas tomando turnos para hacer esto, pero el jugador que toma el último cacahuete de la última pila restante pierde el juego. Tal vez el perdedor compra la siguiente ronda de bebidas, o theres una pequeña suma de dinero montando en el resultado. Tal vez ganó la primera ronda y el extraño le pide otra ronda para darle la oportunidad de ganar su dinero de vuelta. Ten cuidado Si no has encontrado este juego antes, es una estafa. El extraño puede ganar cada vez. Él puede haberle dejado ganar la primera vuelta para conseguirle enganchado. No caiga en el cebo, pero sigue leyendo para descubrir cómo lo hace, y cómo convertir las mesas en él. El juego Las reglas de Nim son simples. Comienza con un número de pilas que contienen un número discreto de objetos, ya sea que sus cacahuetes, palillos de fósforo o contadores no importa. Tener cuatro o más pilas, y hasta diez elementos en cada pila es típico, pero mientras que usted está aprendiendo cómo dominar el juego, comience con números más pequeños de cada uno. Es un juego de dos jugadores, y los jugadores deben tomar turnos para comenzar. Un jugador debe configurar los cacahuetes, el otro toma la primera vuelta, y estos papeles se alternarán en los juegos que siguen. Un juego típico, entre los jugadores Annie y Bob podría ser el siguiente: Annie establece tres pilas al azar (bien llamarlos A, B y C), que pasan a contener 5, 4 y 6 cacahuetes, respectivamente. Bob toma un cacahuete de la pila B, dejando el número de cacahuetes en los tres montones de la siguiente manera: 5,3,6 Annie toma cuatro cacahuetes de la pila A: 1,3,6 Bob toma cuatro cacahuetes de la pila C: 1,3, 2 Annie toma un cacahuete de la pila C: 1,3,1 Bob toma dos cacahuetes de la pila B: 1,1,1 Annie está condenada Ella toma el cacahuete de la pila C: 1,1,0 Bob toma el cacahuete de la pila B : 1,0,0, dejando a Annie para recoger el último cacahuete y perder el juego. Eso fue mala suerte en Annie, pero ¿podría haber ganado? En las circunstancias, no. Bob controlaba el juego de principio a fin. Así que ¿cómo lo hizo? Cómo ganar en Nim Bob utilizó un poco de aritmética mental, pero para aprenderlo hay que entender un poco de la teoría numérica. No es demasiado difícil, y vale la pena hacer el esfuerzo. Bases de números Los Earthlings funcionan con un sistema de números decimales. Tenemos diez símbolos numéricos (0, 1, 2. 9), y cuando llegamos a diez escribimos uno y cero, indicando uno multiplicado por diez, más cero. Cuando escribimos 42 queremos decir cuatro multiplicado por diez, más dos. 127 significa uno multiplicado por diez cuadrados, más dos multiplicado por diez, más siete. Para este sistema decimal, decimos que trabajamos en base diez. Pero no tenemos que trabajar en la base diez. Cuando descubrimos alienígenas inteligentes del planeta Thrarg. Teniendo sólo siete dedos, los encontraremos trabajando con un sistema de base de siete números. 42 artículos en nuestro sistema serán escritos como 60 en los suyos: seis veces siete, más cero. No tendrán símbolos para siete (7). Ocho (8) y nueve (9). Nuestra matemática funciona en cualquier sistema de números base, lo cual es útil, pero si quieres entender el juego de Nim debes ser capaz de pensar en la base 2, también conocida como binaria. Paso 1 - Enseñate a ti mismo binario Binario tiene sólo los dígitos 0 y 1. Si queremos escribir el número decimal dos en binario, escribimos 10, es decir, uno 2 más cero. Cinco en decimal se escribe como 101 en binario: uno 4 (2 2) más cero 2 s más uno 1. Este es su primer desafío - usted necesita ser capaz de pensar en un número en términos de sus coeficientes binarios. Es decir, qué poderes de dos que necesita para hacer que el número. Heres una tabla simple de coeficientes binarios para números de hasta diez: Para ser experto en Nim, necesitas conocer esta tabla como la parte posterior de tu mano, así que aprende, y sigue leyendo cuando puedes decir instantáneamente que, por ejemplo, siete En binario es 111 - uno 4. Más uno 2. Más uno 1. Paso 2 - Contando Coeficientes Aceptar, por lo que eran buenos en binario, pero ¿qué hacemos con él? La respuesta es que tenemos que convertir cada una de las pilas de cacahuetes en sus equivalentes binarios, y contar los coeficientes. Tome la situación de apertura de Annie y Bobs juego: los tres pilotes contenían 5, 4 y 6 cacahuetes, respectivamente. Si los convertimos en binarios, encontramos que la pila A contiene uno 4 más uno 1. La pila B contiene una 4. Y el montón C contiene uno 4 más uno 2. Necesitamos agregar estos juntos: Hace un total de tres 4 s, uno 2 y uno 1. Como se muestra en esta tabla: Número de cacahuetes (decimal) Este es su próximo reto, puede visualizar un número de pilas, convertirlas en binario, y luego recordar el número total de cada coeficiente binario El experto Nim puede, por lo que tienen un poco de práctica , Y luego leer en cuando youre confianza suficiente para continuar. Paso 3 - Equilibrar el conjunto Este paso es el más complicado, pero es la última pieza real de la aritmética mental que necesita, por lo que vale la pena el esfuerzo - después de todo, has llegado tan lejos A la derecha, lo que hay que hacer es quitar un número de Una de las pilas, de modo que cuando se calculan los totales de los coeficientes binarios, todos son números pares. Así, por ejemplo, usted podría tomar los cacahuetes para dejar pilas con dos 4 s, cero 2 sy cuatro 1 s 1. o usted podría dejar dos 2 sy dos 1 s. Echemos un vistazo a la primera jugada de Bobs. Él comenzó, usted recordará, con las pilas que contienen 5, 4 y 6 cacahuetes. Los convertimos a binarios, y contamos los coeficientes, y encontramos que tenía tres 4 s, uno 2 y uno 1. De hecho, Bob tiene un número impar de cada coeficiente binario. No puede añadir cacahuetes para hacer un número par de 4 s, por lo que tiene que quitar uno de esos coeficientes de 4. Al mismo tiempo, tiene que hacer sus coeficientes de 2 y 1 ambos incluso - tiene uno de cada uno. Bob tiene dos opciones a considerar. Si se llevara un montón de siete cacahuetes, esto le quitaría un 4. Uno 2 y uno 1 del total de coeficientes, dejándolo con dos 4 s, cero 2 sy cero 1 s. El problema es que no hay un montón de siete. Bobs sólo otra opción es quitar un coeficiente de 4. Sino añadir un coeficiente de 2 y un coeficiente de 1. De hecho, puede hacerlo si le quita un maní de un montón de cuatro, dejando un montón de tres. Así que eso es lo que Bob hizo - se llevó un maní de un montón de cuatro. Dejó montones de 5, 3 y 6. En binario, estos son 101, 011 y 110. En total hay dos coeficientes de 4. Dos 2 sy dos 1 s. Su equilibrado. Ahora sus Annies se vuelven a jugar, pero como quiera, ella no puede quitar los cacahuetes de una pila en esta situación equilibrada y dejar un número par de coeficientes. Ella tiene que dejar un número impar en alguna parte, y Bob puede rectificar eso en su siguiente ir - él está controlando el juego. Paso 4 - Pero cuidado Hay una cosa más que usted necesita saber. Es una situación extraña que ocurre cerca del final del juego donde las reglas antedichas no se aplican, por alguna razón extraña. En el juego de Annie y Bobs antes, usted pudo haber visto a Bob se enfrentó a la siguiente situación: un maní en el montón A, tres maníes en el montón B y un maní en el montón C 1,3,1. Por la estrategia anterior, se podría pensar que Bob podría simplemente eliminar los tres cacahuetes en la pila B, dejando dos pilas que contienen un maní cada uno. La situación es equilibrada - hay dos coeficientes de 1 - pero si Bob hizo esto, perdería. Annie tomaría uno de los últimos dos cacahuetes, y Bob tomaría el último. Hay un caso especial que surge en nuestra estrategia cuando se llega a una situación en la que todos los montones tienen un maní cada uno, y en esta situación se aplica lo contrario. Bob quiere dejar un número impar de montones de un solo cacahuete. En la práctica, no es difícil de detectar. Sólo recuerde mirar hacia fuera para él hacia el final del juego. Cuando todas las pilas tienen un solo cacahuete, entonces o bien toman todos los cacahuetes de la pila final, o dejan un cacahuete allí - lo que le deja con un número impar de pilas de un solo cacahuete restantes. En nuestro ejemplo de juego, Bob tomó dos cacahuetes, dejando a Annie con tres pilas de uno. Y finalmente Así que ahí lo tienes. Te has enseñado a ti mismo binario, has ejercitado tu cerebro con alguna destreza mental, has aprendido a jugar un juego absorbente de estrategia, y has descubierto cómo convertir las tablas en un estafador. No está mal para un día de trabajo 1 Obviamente, youd necesidad de jugar con al menos cuatro pilas para tener un total de cuatro de cualquiera de los coeficientes, a diferencia de nuestro ejemplo que sólo utiliza tres pilas. Los principios Utilizamos la representación binaria, también llamada base 2, de números y binarios exclusivos o de operación en dos números, que es hacer exclusivos o sobre bits de igual rango en la representación binaria (un exclusivo o entre dos bits da 0 si los dos bits son idénticos, y 1 de lo contrario). Por ejemplo 5 está representado en binario por 101, 3 está representado por 011, donde el resultado de binario exclusivo o es 110 que da 6 en decimal. Denotamos el operador binario exclusivo o, como en los lenguajes de la computadora, dando: 5 3 6. Evaluación de la situación La evaluación de la situación del juego depende de la opción del juego final: la opción uno se ve obligado a recoger el último objeto pierde llamado misre , O una opción que puede elegir el último objeto gana llamado normale. En la opción llamada normale, la situación está ganando si s 0. En la opción llamada misre, con al menos un número mayor que 1 la situación está ganando si s 0, de lo contrario la situación está ganando si s 1. Búsqueda de golpes ganadores Si la El juego está en una situación ganadora, no hay posibilidad de encontrar un golpe ganador. Por lo tanto, el lugar sólo cuando la situación no está ganando y todavía hay algunos partidos. Examinamos las filas a su vez y calculamos primero: d i n i - s n i. En la opción denominada normale y la opción llamada misre con varias filas con más de una coincidencia, si d i es mayor que 0, eliminar este número de la fila i es un trazo ganador. En la opción denominada misre con una sola fila con más de una coincidencia, el trazo ganador consiste en eliminar de esta fila todas las coincidencias excepto una si d i n i. Y además todas las coincidencias (por lo que deja un número impar de filas con una coincidencia). En la opción llamada misre sin fila con más de un partido, eliminar el partido de una fila con un partido es un golpe de victoria (la posición se supone que no es ganar y el juego inacabado. Hay 2 o 4 filas con una ). La estrategia del juego se basa en la evaluación de la situación del juego. Hay situaciones ganadoras. Si encuentras el juego en una situación ganadora, independientemente de tu golpe, no lo dejes ganar. Por otro lado, si no lo encuentras en situación de victoria, puedes encontrar un golpe ganador para ponerlo en situación de victoria, y tu oponente solo podrá dejarlo en situación de no ganar, y si no haces errores después Usted está seguro de ganar. La elección del jugador que empieza es muy importante. Con las opciones por defecto, empezar situación es ganar, y el jugador que comienza sólo puede ganar si su oponente comete un error (y si juega contra automatizar y elegir comenzar no podría ganar porque automatizar está programado para no cometer errores). Por otro lado puede por las preferencias cambiar el estado inicial a fin de que será una situación no ganar. Entonces el principiante tiene una ventaja puesto que él puede poner el juego en situación que gana. Para obtener información sobre los principios básicos de esta estrategia, encontrará un muy buen artículo sobre los juegos Nim en la versión inglesa de Wikipedia. Evaluación de la situación del juego La evaluación de la situación del juego depende de la opción del juego final: opción llamada misre (el que se ve obligado a elegir el último objeto pierde), o opción llamada normale (el que puede elegir el último objeto gana). Esta evaluación requiere pocos cálculos aritméticos que sean los mismos para ambas opciones. Cálculos Llame al N número máximo de objetos removibles incrementado por 1. La evaluación de la situación del juego requiere cálculos modulo N (usualmente denotado N), resto de división entera por N, y binario exclusivo o (normalmente notado), bitwise exclusivo o en el Representación binaria de los dos números. Llame n i el número de objetos en cada montón ym el número de montones. Comenzamos calculando los restos mod N para los m montones: r i n i N Hacemos entonces binario exclusivo o de todos permanece: s r 1 r 2. R m Opción llamada normale (el que puede elegir el último objeto gana) La situación está ganando si s es cero. Opción llamada misre (el que se ve obligado a recoger la última perdida) Si hay al menos uno permanecer por encima de 1, la situación está ganando si s es cero. Si no hay más de 1, la situación está ganando si 1. La mejor investigación sobre el movimiento Si has encontrado el juego en una situación ganadora, saldrás en una situación no ganadora, y tu única esperanza es que tu oponente haga Un error, trate de poner el juego en una situación inusual para él. Si has encontrado el juego en un no-ganador se puede encontrar mediante el cálculo de uno o más golpes ganadores. De acuerdo con los matemáticos siempre debe encontrar al menos un golpe de victoria. El cálculo dependerá en parte de la opción final elegida, normale o misre. Comenzamos para estos cálculos a partir de N número máximo de objetos extraíbles incrementado por uno, n i el número de objetos de cada montón, y los cálculos realizados para evaluar la situación, permanece r i y resulta s de exclusión o. Opción llamada normale Los trazos ganadores son aquellos que mueven s desde su valor actual a 0. Calcule para cada heap d i r i - s r i. Entonces: A) si di es mayor que 0. eliminar di objetos del montón i es una carrera ganadora, B) si di es menor que 0. ni es mayor que o igual a N, y N di mayor que 0, eliminando N Di objetos del montón i es un golpe ganador. Opción denominada misre Los trazos ganadores serán aquellos que ponen s de su valor actual a 0 con al menos uno más alto, o que moverán s a 1 con todos los restos en 0 o 1. El cálculo de los trazos ganadores depende de la Situación encontrada: A) hay más de uno que permanezca mayor que 1: se puede aplicar el mismo algoritmo que en la opción llamada normale. B) sólo uno permanece es mayor que 1: para el montón donde el remanente es mayor que 1, puede quitar un número de objetos que es igual a éste permanezca, o éste permanezca menos 1 dependiendo del número de ya permanece a 1, Para dar un número impar de restos a 1 para otros montones puedes encontrar otros golpes ganadores aplicando el B de opción llamado normale. C) todos los restos son 0 o 1 (la posición se supone que no es ganar, hay un número par de restos a 1): puede quitar un objeto de un montón donde el resto es 1, o eliminar N -1 Objetos de un montón donde el resto es cero, pero el número de objetos es distinto de cero (si hay tales montones). Los cálculos son más simples si hay pocos montones o objetos extraíbles. Un juego de montón En la opción denominada normale, la situación está ganando si el módulo restante N del número de objetos es cero. En la opción llamada misre, la situación está ganando si es igual a 1. Si la situación no está ganando, en la opción llamada normale el golpe ganador es quitar el número de objetos igual al restante. En la opción denominada misre, el trazo ganador consiste en eliminar un número de objetos igual al restante decrementado por 1 si el restante es mayor que 1, y eliminar N-1 objetos si el restante es cero (se supone que la parte no terminada, entonces Hay al menos N objetos). Dos pilas de juego Call r 1 y r 2 permanece modulo N de números de objeto de montones, con r 1 mayor o igual a r 2. En la opción llamada situación normale es ganar si r 1 r 2. Si estos restos son diferentes, el golpe ganador es uno que les da lo mismo, eliminando un número de objetos, ya sea igual a r 1 - r 2 del r 1 permanezcan en montón, igual a N - r 1 r 2 de r 2 Sigue siendo montón si todavía tiene al menos N objetos. En la opción denominada misre, la situación está ganando si r 1 es mayor que 1 y que r 1 r 2 o si r 1 1 y r 2 0. Si r 1 y r 2 son mayores que 1, los trazos ganadores son los Igual que la opción llamada normal. Si r 1 es mayor que 1 y r 2 es igual a 0 o 1, los trazos ganadores eliminan r 1 r 2 -1 objetos de restan r 1 montón, o eliminar N - r 1 r 2 de r 2 siguen siendo montón, si tiene Al menos N objetos. Finalmente, si r 1 y r 2 son iguales a 1, los trazos ganadores están quitando un objeto a uno de los montones, y si ambos son iguales a 0, eliminando objetos N-1 de un montón que todavía tiene objetos. Caso N es igual a 2 Sólo podemos eliminar un objeto cada vez, siempre estamos en la situación en que los restos son 0 o 1. En la opción llamada normale situación es ganar si el número total de objetos es par, y en la opción llamada misre Si este número es impar. Podemos ver que todos los trazos son iguales, el montón de que uno elimina un objeto no importa. Este caso de juego no tiene interés porque uno puede conocer al ganador antes del comienzo del juego: el primer jugador en la opción llamada normal si el número total de objetos es impar y el segundo jugador si es par, y el inverso en la otra opción .
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